Rente mit Kapitalverzehr

Natürlich kann in Ableitung der Problematik aus Abschnitt 5.2 auch eine andere finanzmathematische Fragestellung diskutiert werden: "`Welches Kapital benötigt man um über einen gewissen Zeitraum eine monatliche Rente auszuzahlen?"' Eine solche Thematik spielt immer dann eine Rolle, wenn kurze Zeiträume überbrückt werden müssen. Das in Tabelle 14 gewählte Beispiel mit einer Laufzeit von 10 Jahren sollte somit eine obere Grenze darstellen.

Table 14: Zeitlich begrenzte Rentenzahlung aus einem vorhandenen Kapital

monatliche Rente mRente:	500.- EUR
Jahreszinsfaktor jZF:	1.03 (3.0 % p.a.)
Verzinsung:	einmal jährlich
Laufzeit m:	120 Monate
Anlagebetrag K:	gesucht
Anmerkung:	der Anlagebetrag K ist zum Ende
	der Laufzeit aufgebraucht

Für die angegebene Aufgabe kann (für zunächst fünf monatliche Entnahmen) folgendes Gleichungssystem 36 geschrieben werden.

$$\begin{split} K \cdot jZF - 12\cdot mRate &= a1 a1 \cdot j... ...mRate &= a4 a4 \cdot jZF - 12\cdot mRate &= 0 \end{split}$$ (36)

Die Gleichungen in 36 können zusammengefasst und nach dem Kapital K aufgelöst werden.

$${\frac{{jZF^4+jZF^3+jZF^2+jZF+1}}{{jZF^5}}}$$ (37)

Gleichung 37 lässt sich auch für beliebige Laufzeiten schreiben. Man erhält:

$${\frac{{\sum_{j=0}^{i-1}jZF^j}}{{jZF^i}}}$$ (38)

Durch einiges Glück lässt sich die Gleichung 38 auch für den Taschenrechner aufbereiten. Man erhält die in ZinsMath verwendete Formel 39:

$${\frac{{-1+jZF^{-i}}}{{jZF-1}}}$$ (39)

Für das in Tabelle 14 aufgezeigte Beispiel berechnet sich das benötigte Kapital mit K = 51181.21 EUR.

Anmerkung: Die Berechnungsgrundlage des Abschnittes 5.3 realisiert den vollständigen Kapitalverzehr, soll heißen, das für die Rentenzahlung eingesetzte Kapital K ist zum Ende der Laufzeit aufgebraucht.