Kapitalbildene LV mit festen Prämien

Anhand eines wiederum virtuellen Beispieles soll nun die Renditeberechnung einer Kapitalbildenden Lebensversicherung ohne Dynamisierung (monatlich gleiche Zahlungen) vorgestellt werden. In Tabelle 3 sind die für die Berechnung notwendigen Konditionen angegeben.


Table 3: Kapitalbildende Lebensversicherung - Beispiel
Monatlicher Anlagebetrag mAB: 100.- EUR
Jährliche Dynamisierung: keine
Monatszins mZF: gesucht
Laufzeit m: 36 Monate
Einzahlungen: 3600.- EUR
   
Rückzahlungsbetrag RZB 5694.28 EUR


Für den Zahlungsverlauf kann Gleichung 10 geschrieben werden. Aus Gründen der Übersicht bezieht sich die linke Seite der Gleichung nur auf die ersten 3 Zahlungen.

((((100 . mZF) + 100) . mZF) + 100) . mZF ... $\displaystyle \equiv$ 5694.28 (10)

In einer allgemeinen Form lässt sich für die Einzahlungen mAB, welche monatlich mit dem Faktor mZF verzinst werden müssen, Gleichung 11 schreiben. Die Variable m ist dabei die Laufzeit der Versicherung in Monaten.

mAB . $\displaystyle \Bigg($$\displaystyle \sum_{{m=0}}^{{m-1}}$mZFm$\displaystyle \Bigg)$ . mZF $\displaystyle \equiv$ RZB (11)

Man beachte hier nun, dass die gesuchte Größe in Gleichung 11 der Monatszinsfaktor mZF ist. ZinsMath ermittelt die Lösung auf numerischem Weg. Für dieses Beispiel ergibt sich ein monatlicher Zinsfaktor von 1,0234.

Entsprechend Gleichung 3 und der Auflösung nach jZ kann der Jahreszins berechnet werden aus:

jZ = $\displaystyle \Bigg($mZF12 -1$\displaystyle \Bigg)$ . 100 (12)

Somit ergibt sich ein effektiver Jahreszins von 32.136 %, wobei während der Laufzeit 3600.- EUR eingezahlt wurden. Das Ergebnis deutet darauf hin, dass die Rechnung in der Tat nur Beispielcharakter hat.

Natürlich kann für dieses Modell auch der Zahlungsverlauf angegeben werden, welcher in Tabelle 4 in übersichtlicher Weise dargestellt wird.


Table 4: Kapitalzuwachs einer Lebensversicherung ohne Dynamik
Monat Anlage Kontostand
1 100 EUR 102.13 EUR
2 100 EUR 207.10 EUR
3 100 EUR 314.31 EUR
4 100 EUR 424.05 EUR
  $ \vdots$  
33 100 EUR 5117.92 EUR
34 100 EUR 5238.16 EUR
35 100 EUR 5463.57 EUR
36 100 EUR 5694.27 EUR


Durch ständige Wiederanlage der Zahlungen ergibt sich ein für die Finanzmathematik typischer nichtlinarer Verlauf (Kontostand). Abbildung 3 vermittelt hierzu einen Eindruck.

Figure 3: Kontoverlauf Lebensversicherung ohne Dynamik
\begin{figure} \centering\epsfig{file=kv-ohnedyn,width=80mm} \end{figure}

Lebensversicherungen sollten mindestens eine Laufzeit von 12 Jahren besitzen, damit der Rückzahlungsbetrag RZB steuerfrei bleibt.

Torsten Wehner, wehner[at]zinsmath.de