Effektivzinsberechnung von Annuitäten- und Hypothekenkrediten

Bei der Effektivzinsberechnung werden alle getätigten effektiven Zahlungen miteinander verglichen. Für weitergehende Informationen sei auf die Literatur [5] oder [6] verwiesen. Unter Verwendung der Variablen Re für den Effektivzins lassen sich für das beschriebene Beispiel aus Tabelle 19 die Zahlungen wie folgt in ein Verhältnis bringen:

$${\frac{{EZF^{25}-1}}{{EZF-1}}} \equiv$$ (49)

Für EZF = 1.0634 wird die Gleichung 49 gelöst. Rechnet man letztlich den Effektivzinsfaktor in einen Zinssatz um, so wird der Beispiel-Annuitätenkredit mit einem jährlichen Effektivzinssatz von Re = 6.34 % belastet.

Die Effektivzinsberechnung von Annuitätenkrediten kann sich in Abhängigkeit von den vereinbarten Rahmenbedingungen recht kompliziert gestalten.

Der Vollständigkeit halber werden hier nun noch die Formeln angegeben, mit der ZinsMath die Effektivzinsberechnung von AHD für monatliche Zins- und Tilgungsverrechnung durchführt. Auf eine Herleitung der Gleichung 52 aus Gleichung 49 soll verzichtet werden. Vielmehr sind die Formeln aus [6] übernommen. Für Experten sei an dieser Stelle angemerkt, daß Gleichung 52 weitere Randbedingungen berücksichtigen kann, so beispielsweise tilgungsfreie Jahre etc.

$${\frac{{Re}}{{100}}}$$ (50)

$${\frac{{1}}{{rj}}} {\frac{{T}}{{180}}} {\frac{{Re}}{{200}}}$$ (51)

$$\begin{split}KA \cdot EZF^{ZFS} \equiv & jnZ \cdot h \cdot \f... ...+\frac{jnZ}{100 \cdot TV})^{(ZFS-TF) \cdot TV}-1))) \end{split}$$ (52)

Entsprechend der Bedingungen aus Tabelle 20 wurde die Renditeberechnung durchgeführt und Re mit 7.01 % bestimmt¹⁵. Die gesuchte Größe in den Gleichungen 50 bis 52 ist aber Re und es kann geschrieben werden:

$${\frac{{7.01}}{{100}}}$$ (53)

Da die Raten monatlich gezahlt werden sollen, ist rj = 12. Die erste Rate ist nach einem Monat fällig, somit ist T = 30.

$${\frac{{1}}{{12}}} {\frac{{30}}{{180}}} {\frac{{7.01}}{{200}}}$$ (54)

Nun ist die Hilfsgröße h bestimmt, die die Konditionen der Zahlweise und Zahlbeginn berücksichtigt.

Wenn das Ergebnis Re = 7.01 % Richtigkeit besitzen soll, muss Gleichheit für die linke und rechte Seite der Gleichung 52 zu zeigen sein.

Für eine Zinsfestschreibung ZFS von 10 Jahren und einem Auszahlungskurs KA von 90 % schreibt man zunächst:

90 ^. 1.0701¹⁰ = 177.209 (55)

Wegen monatlicher Tilgungsverrechnung ist TV = 12, die anfängliche Tilgung TI = 2 % und der Kredit soll bereits mit der ersten Rate getilgt werden. Somit ist TF = 0. In absichtlich ausgeschriebener Form gilt für die rechte Seite dann:

$$\begin{split}5.25 \cdot 1.032 \cdot \frac{1.0701^{10}-1.0701^... ...5}{100 \cdot 12})^{(10-0) \cdot 12}-1))) =& 177.209 \end{split}$$ (56)

Wegen Äquivalenz der Gleichung 55 und 56 ist das vorweggenommene Ergebnis von Re = 7.01 % richtig¹⁶.

ZinsMath ermittelt die Lösung nach Gleichung 52 nach einem modernen Iterationsverfahren und gibt das Ergebnis für jede Berechnung aus.